E’ data la funzione
che ha un flesso in
. Determina i valori di a e di b. Studia la funzione e disegnane
il grafico. Determina la tangente nel punto di flesso, disegnala.13
gennaio ’03 - compito di matematica - CLASSE 5 D
1)
E’ data la funzione
che ha un flesso in
. Determina i valori di a e di b. Studia la funzione e disegnane
il grafico. Determina la tangente nel punto di flesso, disegnala.
le
condizioni sono
da
cui si ottiene
la
tangente nel punto di flesso ha equazione
2)
Studia la
funzione
.Deduci dal grafico il segno della derivata seconda e in quale intervallo
supponi che si trovi il punto di flesso
la funzione ha un asintoto verticale in x=5 e un
asintoto orizzontale destro y = 1 e sinistro y = -1.
(la funzione interseca la retta y = - 1 nel punto di
ascissa 34/10)
Dalla derivata
si desume che la funzione nei punti
(-3,0) e (3,0) ha tangente verticale.
la concavità fini a x = -3 è rivolta verso l’alto
quindi y” >0, dopo x = 5 è rivolta verso l’alto quindi y” >0, tra x
=3 e x =k è verso l’alto quindi y”>0 e tra x =k e x=5 è verso il basso
quindi y”<0. il punto di flesso previsto è x =k. L’equazione risolvente
che annulla la derivata II è
che risolta numericamente dà x = 3,28…
3)
E’ data
un’ellisse con centro nell’origine e il semiasse maggiore (orizzontale)
misura 3 mentre il semiasse minore verticale misura 2. Siano A e B
i vertici rispettivamente di ascissa e ordinata positiva. Sull’arco di ellisse
nel primo quadrante determina la posizione del punto P in modo che il
quadrilatero AOBP sia di area massima. Cosa potresti dire dei minimi di
quest’area? esistono o no?
dipende da come è interpretato il problema? Dai una giustificazione geometrica.
E’ applicabile il teorema di Rolle nell’intervallo considerato? spiega.
l’ellisse in questione ha equazione
determino
il punto P(x,y). L’area in questione è
(3y+2x)/2
; non ho problemi per valori assoluti perché il punto P si trova nel primo
quadrante e quindi le misure delle altezze, in cui il quadrilatero si può
scomporre, corrispondono con l’ascissa e l’ordinata di P.
da
cui ottengo
quindi
variando x tra 0 e 3 la derivata è positiva (l’area cresce) fino a 3/r2,
decresce da 3/r2 fino a 3. quindi il massimo è per x = 3/r2.
i minimi si trovano quando P si trova sui vertici. Il
quadrilatero degenera il un triangolo di area 3. E’ osservabile
geometricamente: quando il punto P non è sui vertici l’area è costituita dal
triangolo più il triangolo APB. si può vedere come in questo caso vale il
teorema di Rolle che garantisce l’esistenza di un punto con derivata nulla
(nel nostro caso un massimo). L’esistenza del minimo è discutibile in quanto
possiamo sostenere che i vertici non fanno parte del primo quadrante in senso
stretto, inoltre il problema parla di quadrilatero, mentre qui abbiamo dei
triangoli.
4)
Prepariamoci
all’università! uno studente universitario viene esaminato dal docente o
dall’assistente. La probabilità di essere esaminato dal docente è pari a
2/5. La probabilità di superare l’esame, se sostenuto con il docente, è 0,6
mentre è 0,8 se sostenuto con l’assistente. Descrivi la situazione con un
diagramma ad albero, dando dei nomi ai vari eventi. Se lo studente supera
l’esame , qual è la probabilità che sia stato esaminato dal docente? Un
po’ di discussione: come pensi sia possibile ricavare in una situazione reale
i valori di probabilità espressi dal problema? come faresti?
eventi
D:
esaminato dal docente
A:
esaminato dall’assistente
S:
supera l’esame
B:
non supera l’esame
la probabilità che ci interessa è
la
probabilità di essere esaminato dal docente o dall’assistente può essere
calcolata statisticamente alla fine di una giornata quanti alunni sono stati
interrogati dal docente e quanti dall’assistente. Nel nostro caso potrebbe
venire dal fatto che generalmente su 20 studenti 8 vengono esaminati dal docente
e 12 dall’assistente. Analogamente per quanto riguarda il superamento
dell’esame: statisticamente quanti alunni superano l’esame con il docente (6
su 10) e quanti lo superano con l’assistente (8 su 10).